ボールの衝突判定（ActionScript3.0）

前回（ボールの放り投げ）を発展させて、複数のボールに対しての衝突シミュレーションを作ってみました。
サンプル:

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↑１個つかんで投げるとエネルギーが増えて面白いです。
まずは、準備としてクラスを2つ用意します。

// Ball.as
package {
    import flash.display.Sprite;
    import flash.events.*;
    import flash.geom.Point;
    class Ball extends Sprite {
    　～
    }
}

// Test01.as
package {
    import flash.display.*;
    import flash.events.Event;
    import Ball;
    public class Test01 extends MovieClip {
       ～
    }
}

こんな感じです。Text01.asを適当な.flaファイルのドキュメントクラスに設定し、コンパイルすれば自分で定義したBallクラスを自由に扱えるようになります。Ball.asの全ソースは以下のようになります。

// Ball.as
package {
    import flash.display.Sprite;
    import flash.events.*;
    import flash.geom.Point;
    class Ball extends Sprite {

        // パラメータ
        private var sw:Boolean = false;
        private var click_x:int = 0;
        private var click_y:int = 0;
        private var mouseX_bef:int;
        private var mouseY_bef:int;
        public var v_x:Number = 0;
        public var v_y:Number = 0;
        private var rub:Number = 1.05; // 摩擦
        private var ela:Number = 0.80; // 弾性率
        private var a_x:Number = 0.0; // 重力x
        private var a_y:Number = 0.2; // 重力y
        private var v_x_0:Number = 2.0;
        private var v_y_0:Number = 2.0;
        private var container:*;
        private var limitX:int;
        private var limitY:int;
        private var color:int;
       
        // construct
        public function Ball(con:*, scale:int, col=0xFF0000):void {
            container = con;
            limitX = con.width-scale*2;
            limitY = con.height-scale*2;
           
            color = col;
           
            var g = this.graphics;
            g.beginFill (col, 1.0);    // 面のスタイル設定
            g.drawCircle  (scale, scale, scale);
            x = limitX * Math.random();
            y = limitY * Math.random();
            v_x = v_x_0 * Math.random();
            v_y = v_y_0 * Math.random();
            container.addChild(this);
           
            // イベントリスナー
            addEventListener(MouseEvent.MOUSE_DOWN, switchOn);
            container.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_UP, switchOff);
            container.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_MOVE, moveBall);
            container.addEventListener(Event.ENTER_FRAME, throwBall);
        }
       
        // マウスダウンするとスイッチON＆ズレ分取得
        private function switchOn(event:MouseEvent):void {
            sw = true;
            click_x = event.stageX - x;
            click_y = event.stageY - y;
        }
       
        // マウスアップするとスイッチ
        private function switchOff(event:MouseEvent):void {
            sw = false;
        }
       
        // ボールを移動する＆速度指定
        private function moveBall(event:MouseEvent):void {
            if(sw) {
                x = container.mouseX - click_x;
                y = container.mouseY - click_y;
                v_x  = container.mouseX - mouseX_bef;
                v_y = container.mouseY - mouseY_bef;
                mouseX_bef = container.mouseX;
                mouseY_bef = container.mouseY;
            }
        }
       
        // ボールを投げる
        private function throwBall(event:Event):void {
            if(!sw) { // 捕まえられたら止まる
           
                // 例外対策
                if(!v_x) v_x = 0;
                if(!v_y) v_y = 0;
               
                // 画面外に行かないように
                if(x < 0) x = 0;
                if(x > limitX) x = limitX;
                if(y < 0) y = 0;
                if(y > limitY) y = limitY;
               
                // 端っこで跳ね返る
                if((x + v_x) < 0 || (x + v_x) > limitX) {
                    v_x = -v_x/ela;
                }
                if((y + v_y) < 0 || (y + v_y) > limitY) {
                    v_y = -v_y/ela;
                }
                   
                // 摩擦
                v_x = v_x/rub;
                v_y = v_y/rub;
               
                // 重力
                if(x < stage.stageWidth - width*2) v_x += a_x;
                if(y < stage.stageHeight - width*2) v_y += a_y;
               
                // 移動
                x += v_x
                y += v_y;

               
            }
        }
       
        // 衝突判定
        function crash(obj:Ball):void {
            var o_slf:Point = new Point(x, y);
            var o_obj:Point = new Point(obj.x, obj.y);
            if( Point.distance(o_slf, o_obj) < (width/2 + obj.width/2) )  {
                // 中心方向とx軸との成す角を求める
                var c_x:Number = obj.x - x;
                var c_y:Number = obj.y - y;
                var theta:Number = Math.atan(Math.abs(c_y/c_x));
               
                // 重なりを無くす
                var c_len:Number = Math.sqrt(c_x*c_x + c_y*c_y);
                var len:Number = (width/2 + obj.width/2) - Point.distance(o_slf, o_obj);
                if(c_len) {
                    obj.x += len*c_x/c_len;
                    obj.y += len*c_y/c_len;
                }
               
                // ベクトルをθ回転する
                var v_u:Number = v_x*Math.cos(theta) - v_y*Math.sin(theta);
                var v_v:Number = v_x*Math.sin(theta) + v_y*Math.cos(theta);
                var obj_v_u:Number = obj.v_x*Math.cos(theta) - obj.v_y*Math.sin(theta);
                var obj_v_v:Number = obj.v_x*Math.sin(theta) + obj.v_y*Math.cos(theta);
               
                // u方向のみ運動量保存則を適用（質量が同じと仮定し速度交換）
                var tmp:Number = v_u/ela;
                v_u = obj_v_u/ela;
                obj_v_u = tmp;
               
               
                // ベクトルを -θ回転する
                v_x = v_u*Math.cos(theta) + v_v*Math.sin(theta);
                v_y = -v_u*Math.sin(theta) + v_v*Math.cos(theta);
                obj.v_x = obj_v_u*Math.cos(theta) + obj_v_v*Math.sin(theta);
                obj.v_y = -obj_v_u*Math.sin(theta) + obj_v_v*Math.cos(theta);

            }
        }
    }
}

長くてすみません（汗）。基本的にはこの間と大差ありません。ただしコンストラクタにより引数で与えられたステージやコンテナに自身を追加するようになってるところと、衝突判定がついたところが大きな違いです。それでは衝突判定について説明します。

という速度交換の式が成り立ちます。これを用いて衝突後のプログラムを書いていきましょう。ビリヤードのように、ボールの右端に当てれば左のほうへ飛んでいく、といった様子を再現します。そこで、座標軸の回転を使って一度x,yをu,vという座標に変換して運動量保存則を適用する、といったことをします。


衝突方向をu軸、反射方向をv軸として運動量保存則を適用します。これには先ほど求めたc_xとc_yを使ってθを求めます。

θ = atan(c_y/c_x)

このように、アークタンジェント（タンジェントの逆数）を使って角度を求めます。ActionScriptでは、

theta = Math.atan(Math.abs(c_y/c_x));

と、Mathクラスのメソッドを利用します。さて座標軸の回転ですが、これには数Cの知識が必要で、回転行列を用いて計算します。回転行列とは、

cosθ   -sinθ
sinθ   cosθ

の2*2行列ですが、虚数の掛け算が回転という知識を持っていれば簡単に導けます。

X+i*Y = (x+i*y)*(cosθ + i*sinθ)
         = (x*cosθ - y*sinθ) + i*(x*sinθ + y*cosθ)
∴X = x*cosθ - y*sinθ
   Y = x*sinθ + y*cosθ